Fedora Project: Changes/Harden All Packages

Fedora Project: Changes/Harden All Packages

Harden All Packages

In Fedora 22 and before, it was up to the package maintainer to add %global _hardened_build 1 to their spec file to ensure their program was hardened. Beginning with Fedora 23 this will now become the defaults for all packages. You can compare the security by running the following as root:

dnf install checksec
checksec –proc-all
To see the mitigations in the libraries that a process is using, find the process id from the previous command (for example 123):

checksec –proc-libs 123

Name: Till Maas | Moez Roy | Adam Jackson | Florian Weimer
Email: opensource@till.name | moez.roy@gmail.com | ajax@redhat.com | fweimer@redhat.com
FESCo shepherd: Adam Jackson

Current status

Targeted release: Fedora 22 Fedora 23
Last updated: 2015-02-12
Tracking bug: #1215939
Build failures tracking bug: #1199775
Detailed Description

Currently, the Packaging Guidelines allow maintainers to decide whether their packages use position-independent code (PIC). There are rules that say that a lot of packages should use PIC, but in reality a lot of packages do not use PIC even if they must. Also since a lot of packages if not all potentially process untrusted input, it makes sense for these packages to use PIC to enhance the security of Fedora. Therefore I propose to build all packages with PIC by changing RPM to use the appropriate flags by default.

Implementation (done): Change line 130 in redhat-rpm-config macros from #_hardened_build 0 to %_hardened_build 1


https://fedorahosted.org/fesco/ticket/1113 (older attempt with many references)
There should be several mails about this on the devel list
Build failures tracker bug
Detailed Harden Flags Description
The following only deals with flags added by this proposal. It does not mention existing hardening flags such as the -fstack-protector-strong compiler flag or the -z relro linker flag.

This table shows the required compiler and linker flags with and without full ASLR support. The flags are described from the perspective of the gcc or g++ compiler driver, so linker flags (for ld) are prefixed with -Wl.

Non-hardening Hardening
Compile for static linking (nothing) -fPIE
Link executable (nothing) -pie -Wl,-z,now
Compile for dynamic linking -fPIC -fPIC
Link shared object -shared -shared -Wl,-z,now

The key change is that for PIE builds, compilation for static linking (such as object files which go into the main program, not a library) needs the flag -fPIE. But this flag must not be included when compiling for dynamic linking because the resulting object code is not compatible with that. To repeat, you should not specify both -fpic and -fpie on the same command line because this rarely has the intended effect.

For both hardened and non-hardened builds, it is possible to compile everything with -fPIC -pie. This can simplify injecting the flags into the build process.

Alternatively, you can rely on the RPM-provided compiler and linker flag settings. In Fedora 23, this will enable additional GCC specs files (which are not related to RPM spec files), altering the compiler driver behavior in the following way:

If there is no -fPIC-style flag on the command line, the source file is compiled as if -fPIE were specified.
If there is no -shared flag on the command line, the program is linked with -pie.
-z now is always passed to the linker.
This happens by injection CFLAGS, CXXFLAGS, and LDFLAGS environment variables in the invocation of the %configure RPM macro. Details are in the /usr/lib/rpm/redhat/macros file. (In previous Fedora releases, this only happened when the _hardended_build RPM macro was set to 1 in the spec file.)

In effect, this maps the non-hardening column to the hardening column in the table above.

Copy relocations support in GCC 5 and binutils 2.26 makes the performance on x86_64 of PIE literally zero for many programs.


+ %{!fpie:%{!fPIE:%{!fpic:%{!fPIC:%{!fno-pic:-fPIE}}}}}

+ %{!shared:-pie}

+ -z now
How To Test

Running checksec should always report only
Full RELRO Canary found NX enabled PIE enabled No RPATH No RUNPATH otherwise a tracking bug should exist for the respective packages. All packages need to be tested as usual for normal behaviour.

Troubleshooting steps for package maintainers
1. Add %global _hardened_build 1 and build your package against F21. As F21 uses GCC 4.9.2, older binutils, older glibc etc. you will be able to identify whether the build failure is caused by GCC5, the newer binutils, the new glibc etc..

2. If you get linker errors, you can try disabling -z now by putting the following under the %build section of your spec file:


export CFLAGS
3a. Check whether it builds successfully if you disable the hardening change:

%undefine _hardened_build
3b. Enable only PIE manually for your package:


export CFLAGS
3c. Enable only -z now manually for your package:

CFLAGS=”$RPM_OPT_FLAGS -Wl,-z,relro -Wl,-z,now”
CXXFLAGS=”$RPM_OPT_FLAGS -Wl,-z,relro -Wl,-z,now”

export CFLAGS
3d. Enable 3b and 3c above manually for your package:

CFLAGS=”$RPM_OPT_FLAGS -fPIC -pie -Wl,-z,relro -Wl,-z,now”
CXXFLAGS=”$RPM_OPT_FLAGS -fPIC -pie -Wl,-z,relro -Wl,-z,now”

export CFLAGS

Benefit to Fedora

Packages in Fedora will be more secure than in other distributions or packages provided by upstream. Therefore our users less likely become victims of attacks. Fedora will use more state-of-the-art security mechanisms to fulfill its first and features foundations.


Proposal owners:
Help writing the new packaging guidelines.

Other developers:
Change the rpm macros to build packages by default with PIC/PIE flags (i.e. set _hardened_package to 1 by default). Bug report: https://bugzilla.redhat.com/show_bug.cgi?id=1192183

Release engineering:
Do a mass rebuild for all arch packages

Policies and guidelines:
Adjust the Packaging Guidelines to allow non-PIC packages only if the package is not working otherwise and require a tracker bug similar to packages not working on certain archs. Update the Guidelines to reflect the new defaults.

Upgrade/compatibility impact

This should not cause problems with upgrades.

User Experience

Fedora users might notice less sucessful attacks on their systems.


The rpm macros for Fedora need to be adjusted. Prelink might be retired.

Contingency Plan

Contingency mechanism: Package maintainers should refer to the section Troubleshooting steps for package maintainers above if they don’t want their FTBFS packages retired.
Contingency deadline: beta freeze
Blocks release? No

The current packaging guidelines can be consulted.


Bug 2443 – slurmd does not start when built in hardened environment

Bug 2443 – slurmd does not start when built in hardened environment

Nenad Vukicevic 2016-02-12 07:36:24 MST
While building on Fedora 23 I ran into the following error om slurmd start, once I created RPMs to install (which had a separate issue on its own):

Feb 09 18:55:34 dev slurmd[6700]: error: plugin_load_from_file:
/usr/lib64/slurm/select_cons_res.so: undefined symbol:
Feb 09 18:55:34 dev slurmd[6700]: error: Couldn’t load specified
plugin name for select/cons_res: Dlopen of plugin file failed
Feb 09 18:55:34 dev slurmd[6700]: fatal: Can’t find plugin for select/cons_res

After some checking it turned out that Fedora 23 started using harden packages by default.


130 %_hardening_cflags -specs=/usr/lib/rpm/redhat/redhat-hardened-cc1
131 # we don’t escape symbols ‘~’, ‘”‘, etc. so be careful when changing this
132 %_hardening_ldflags -specs=/usr/lib/rpm/redhat/redhat-hardened-ld
134 # Harden packages by default for Fedora 23:
135 # https://fedorahosted.org/fesco/ticket/1384 (accepted on 2014-02-11)
136 %_hardened_build 1
137 %_hardened_cflags %{?_hardened_build:%{_hardening_cflags}}
138 %_hardened_ldflags %{?_hardened_build:%{_hardening_ldflags}}

I think with this option, all the plugin symbols must be resolved at the dlopen time. Which is not the case for the above.

I patched the slurm.spec file by adding the following lines at the beginning
of the file (there is probably more correct/elegant way to do this) which is based on https://fedoraproject.org/wiki/Changes/Harden_All_Packages:

%undefine _hardened_build
%global _hardened_cflags “-Wl,-z,lazy”
%global _hardened_ldflags “-Wl,-z,lazy”

The above worked, slurmd was able to start and I was able to run some programs. I think that slurmd does not use procedures that have unresolved referencies, or that slurmd should not try load those plugins. On the other hand, slurmcld has the symbol in question defined.

OnePlus Engineering APK

OnePlus Engineering APK

A Twitter user by the name “Elliot Alderson” has discovered a root backdoor in OnePlus devices—one that has apparently been shipping for years. OnePlus has been shipping a Qualcomm engineering APK (an Android app file) in its devices, which with a few commands can root a device.

The app—called “EngineerMode”—is partially exposed to users through a secret “*#808#” dialer command, and you can also launch the full app through an Android activity launcher or the command line. The app contains production-line tests for various phone components, a root checker, and lots of information readouts. The important part, though, is a “DiagEnabled” activity with a method called “escalatedUp.” If this is set to “true,” the app will allow root access over Android Debug Bridge, Android’s command-line developer tools.
The method for gaining root is password protected, but the password lasted all of three hours once the method was discovered. With the help of David Weinstein and the Now Secure team, the group discovered the magic word is “angela,” which is possibly another Mr. Robot reference, just like the “Elliot Alderson” handle. (We swear this is real and not a Mr. Robot ARG.)

The “Engineering Mode” app from a OnePlus 3T.
Enlarge / The “Engineering Mode” app from a OnePlus 3T.
With the password cracked, it’s now possible for an app to enable root access on any device with the APK preinstalled. For now, this only works in ADB, which requires local access to the device. Anderson says it’s “too early to speak about a random app getting root access, but we are on the good tracks.”

Since this is a Qualcomm APK, there’s a chance other OEMs have made the same mistake OnePlus has. While the root backdoor hasn’t been verified in other devices yet, reports from Twitter indicate the APK was also found in Asus and Xiaomi devices.

OnePlus CEO Carl Pel said his company is “looking into” the backdoor report. It should be a simple matter of just removing the APK in an update, but this will certainly put a damper on the launch of the OnePlus 5T, which comes out this week.

Update: OnePlus has released a statement saying it will remove the app:

Yesterday, we received a lot of questions regarding an apk found in several devices, including our own, named EngineerMode, and we would like to explain what it is. EngineerMode is a diagnostic tool mainly used for factory production line functionality testing and after sales support.

We’ve seen several statements by community developers that are worried because this apk grants root privileges. While, it can enable adb root which provides privileges for adb commands, it will not let 3rd-party apps access full root privileges. Additionally, adb root is only accessible if USB debugging, which is off by default, is turned on, and any sort of root access would still require physical access to your device.

While we don’t see this as a major security issue, we understand that users may still have concerns and therefore we will remove the adb root function from EngineerMode in an upcoming OTA.
Update 2: Qualcomm has chimed in, saying that while the app is based on Qualcomm source code, “EngineerMode no longer resembles the original code we provided.” View article comments

Hermann Knoflacher: Autofahren ist eine Sucht

Hermann Knoflacher: Autofahren ist eine Sucht

“Der Autofahrer unterscheidet sich vom Menschen wesentlich mehr als jedes Insekt”, behauptet der Verkehrsexperte Herman Knoflacher. Denn: Kein Insekt ruiniere den Lebensraum seiner Nachfahren. Der Grund: Das Auto hat die Kontrolle über das Stammhirn übernommen.

Deutschlandfunk Kultur: In Deutschland leben rund elf Millionen Kinder unter 14 Jahren. Angemeldete Kraftfahrzeuge gibt es fast sechsmal so viele, nämlich über 62 Millionen. Das Auto ist nach wie vor das wichtigste Verkehrsmittel in Deutschland – Umweltbewusstsein und Bonner Klimakonferenz hin oder her.

Woran liegt das? Hat das wirklich rein praktische Gründe? Darüber will ich mit Herman Knoflacher sprechen. Er ist Professor emeritus am Institut für Verkehrswissenschaften der Technischen Universität Wien. Aus Wien ist er uns nun auch zugeschaltet. – Grüß Gott, Herr Knoflacher.

Herman Knoflacher: Grüß Gott!

Deutschlandfunk Kultur: 62 Millionen und 600.000 Kraftfahrzeuge in Deutschland, eine Million mehr als ein Jahr zuvor. – Ist das Auto ein praktisches, ein zweckmäßiges Verkehrsmittel? Das könnte man ja daraus schließen.

Herman Knoflacher: Es ist sicherlich auch praktisch. Es ist wahrscheinlich aus der Individualsicht immer noch zweckmäßig, aber vor allem hat das Auto ja eine Welt für Autos gemacht und nicht für Kinder. Hätten wir eine Welt für Kinder und würden wir als Menschen und nicht als Autofahrer leben, dann würde sie ganz anders ausschauen.

Das heißt, alles, was wir im Wesentlichen machen, alles was menschengemacht ist, kommt aus dem Kopf. Und wenn das Auto im Kopf sitzt und unser Handeln steuert und an Universitäten die Professoren und die Absolventen sozusagen kontrolliert, dann produzieren sie eine Welt für Autos und nicht mehr für Menschen. Denn Menschen sind Zweibeiner. Ein Autofahrer ist ein Vierbeiner im Wesentlichen. Das heißt, er befindet sich in einer sehr bequemen Position, ähnlich wie die Primaten vor ungefähr sieben, acht Millionen Jahren. Nur zum Unterschied von diesen bewegt sich der der Baum. Also, ein Autofahrer hat einen Lenkast, einen Kupplungsast, einen Gasast, eine Bremsaxt. Und wenn er dann drauf steigt, verbindet sich seine geringe Körperkraft von 0,1 bis 0,2 PS mit den 240 oder 340 PS. Und das gibt ihm unglaublich viel Kraft. Das findet im Hirn statt. Also ist man hier massiv abhängig vom Auto. Das ist das eine.

Das zweite ist, es gibt gesetzliche Zwänge, um Autos zu besitzen und Auto zu fahren. Weil, wenn sie so eine Welt bauen, dann verhalten sich die Menschen einfach intelligent und egoistisch. Das war in der gesamten Geschichte der Evolution vorteilhaft, fällt uns aber in dem Fall, beim Autoverkehr, ganz massiv auf den Kopf bzw. in die Lungen.

Autofahren ist irrational

Deutschlandfunk Kultur: Zu den Lungen kommen wir noch. Ich wollte nochmal bei dem Punkt bleiben, wie praktisch oder zweckmäßig das Auto ist. Ich habe jetzt gerade gelesen, in München zum Beispiel steht jeder Autofahrer 49 Stunden pro Jahr im Stau, also über eine gesamte Arbeitswoche.

Herman Knoflacher: Nicht nur, dass er im Stau steht, sondern die Menschen in Deutschland, wie anderswo, arbeiten pro Jahr ungefähr sechs bis sieben Wochen, um sich den Autoverkehr leisten zu können. Also nicht nur das Auto, sondern das sind ja eine ganze Reihe von Nebenkosten – die Infrastruktur, die Überwachung, die Krankenhäuser etc. Wenn man das umrechnet, dann hätte man eigentlich fast zwei Monate Urlaub, anstatt ein Auto zu haben, und würde in einer gesunden Umgebung leben. – Aber das ist alles rational.

Das heißt, der Zugriff auf das Auto findet ja ganz tief im Unterbewusstsein auf der ältesten Schicht des Menschseins oder überhaupt der Lebewesen statt. Dort sitzt das Auto und dreht alles in Richtung Auto.

Deutschlandfunk Kultur: Offenbar sitzt da auch der SUV. Das ist eine Meldung, die mich verblüfft hat, die auch relativ jungen Datums ist, dass nämlich der Marktanteil dieser SUVs, dieser großen schweren Stadtgeländewagen, der liegt mittlerweile bei über einem Fünftel. Okay, ich könnte einräumen, in Berlin könnten die Straßen getrost in einem besseren Zustand sein, aber einen Geländewagen braucht man doch auch selbst in Berlin noch nicht.

Warum werden die Autos immer größer? Denn das ist nun wirklich auch nicht praktisch, wenn wir mal die Zuschnitte unserer Parkplätze und Straßen und Parkhäuser ansehen.

Defizite in der evolutionären Ausstattung

Herman Knoflacher: Da haben Sie vollkommen Recht. Das hat natürlich schon bestimmte Gründe. Das heißt, die traditionellen Straßenprojektanten, die man als Planer auch bezeichnet, haben viel zu breite Fahrbahnen gebaut. Also wachsen die Autos langsam in diese Größe hinein. Das ist auch im Güterverkehr der Fall. Das heißt, die Überdimensionierung im Straßenverkehr führt dazu, dass die Autoindustrie nachrüstet. Und die Menschen fühlen sich natürlich in einem SUV gegenüber den anderen niedrigeren Fahrzeugen in einer günstigeren Position – bis alle anderen auch wieder in einem SUV sitzen. Aber da kann man wieder eine zeitlang Geschäfte machen.

Das heißt, die Autoindustrie will ja keine Verkehrsprobleme lösen, sondern die Autoindustrie will Autos verkaufen. Also greift sie erfolgreich auf unsere alten sozusagen Defizite der evolutionären Ausstattung zurück. Die sind, was das Auto betrifft, wesentlich mächtiger als jede Art von Vernunft.

Deutschlandfunk Kultur: Das heißt, dass alles immer größer werden muss, wäre ein menschlicher Zug? Es werden ja nicht nur die SUVs größer. Man stelle mal einen alten Mini-Cooper neben einen neuen sogenannten Mini, da sieht man, dass da nichts mehr Mini ist an dem neuen Mini, oder einen alten Golf neben einen alten [gemeint ist: “.. neben einen neuen”, die Red.]

Man kann ja auch sagen, die Häuser werden größer, die Wohnungen werden größer, die Menschen sind größer geworden in den vergangenen hundert Jahren. Und das ist jetzt auch ein evolutionär menschlicher Zug, dass alles immer größer werden muss?

Herman Knoflacher: Größer kann es nur werden, wenn genügend Energie und Ressourcen vorhanden sind. Das war bisher der Fall. Das heißt, wir beuten einfach Energie-Ressourcen aus. Wir stecken unheimlich viel Geld ins Auto. Die Zahlen vorher sagen ja alles, was eigentlich da sich widerspiegelt.

Wenn Sie 66 Millionen Autos und elf Millionen Kinder hernehmen…,

Deutschlandfunk Kultur: … 62 Millionen Autos.

Mehr Geld für Autos als für Kinder

Herman Knoflacher: .. ja, dann zeigt das ja ganz deutlich, was man auch in den Ausgaben der Haushalte sieht. Die Haushalte geben – bei Ihnen genauso wie bei uns oder in der Schweiz – ungefähr 15, 16 Prozent im Wesentlichen für den Autoverkehr aus. Das ist der gesamte Verkehrsanteil, aber der Hauptanteil ist Autoverkehr. Aber sie geben nur elf bis zwölf Prozent für die Kinder aus.

Das heißt, hier zeigt sich, was den Menschen wichtiger und lieber ist – die Kinder oder das Auto. Und wären die Eltern Menschen, dann würden sie die Umwelt nicht autogerecht machen, aber sie sind Autofahrer. Das Auto ist dem Menschen immer näher als jeder zweite andere Mensch. Das klingt zwar etwas sozusagen hart, aber es ist die Realität.

Das heißt: Wären die Kinder den Eltern näher als das Auto, dann würden sie den Lebensraum der Kinder verteidigen. Dann würden sie dafür sorgen, dass die Kinder so aufwachsen, wie es in der Menschheit, auch in der urbanen Gesellschaft seit zumindest zehntausend Jahren immer der Fall war, dass der öffentliche Raum in erster Linie den Menschen vorbehalten ist. Das hat sich geändert, nachdem das Auto aus dem tiefsten Stammhirn sozusagen heraus befiehlt, was zu geschehen hat.

Das heißt, die Menschen sehen die Welt ja nicht mehr, wie sie eigentlich ein Mensch sehen sollte, sondern sie sehen die Welt so, wie es dem Auto gefällt. Ich erlebe es ja seit Jahrzehnten, wenn ich zum Beispiel Teile von Städten autofrei mache, diesen erbitterten Kampf gegen die Entfernung des Autos aus der Nähe der Wohnungen, der Geschäfte und dergleichen, obwohl eigentlich alle diese Lösungen im Endeffekt für alle wesentlich besser waren. Das heißt, die Menschen lernen wieder andere kennen, die sie im öffentlichen Raum treffen. Die Kinder können sich sicher bewegen. Und die Geschäfte machen einfach wesentlich mehr Umsätze, weil, pro Quadratmeter Fläche kann ich wesentlich mehr Brieftaschen in Fußgängern unterbringen als in geparkten Autos. Da ist ja meist überhaupt kein Geld drin.

Deutschlandfunk Kultur: Man könnte schlicht sagen, dass die Mobilität der einen zu Lasten der Mobilität der anderen geht. Weil Sie die Kinder wieder erwähnt haben: Also, wenn die Eltern eben mit dem Auto zur Arbeit fahren, dann sorgen sie mit dafür, dass ihre Kinder nicht mehr frei auf der Straße spielen können.

Ich glaube, Sie haben mal in einem Interview, Herr Knoflacher, eine Studie genannt, nach der Eltern eher den Parkplatz vor der eigenen Haustür wählen, als eine verkehrsberuhigte Zone.

Herman Knoflacher: Ja, absolut, das ist völlig richtig. Da entstehen alle diese Argumente, die man auch von suchtabhängigen Menschen kennt, warum man dringend das Auto braucht.

Mehr Tote als durch Terrorismus

Deutschlandfunk Kultur: Also ist das Autofahren eine Sucht?

Herman Knoflacher: Es ist auch eine Sucht, aber es ist schlimmer als die üblichen Süchte. Das Auto sitzt viel tiefer im Stammhirn, dort, wo Energie verrechnet wird. Süchte sind meistens erst bei den Biomolekülen anzutreffen. Das heißt, das Auto ist noch etwas stärker als die üblichen Süchte. Und, was natürlich dazu verstärkend kommt, es wird von der Gesellschaft akzeptiert. Wir bringen weltweit 1,2 Millionen Menschen bei Verkehrsunfällen um. Wir bringen ungefähr fünf bis sechs Millionen Menschen durch die Abgase um. Und wir verletzten jedes Jahr ungefähr zwischen zwanzig und fünfzig Millionen Menschen bei Verkehrsunfällen.

Stellen Sie sich vor, das würde im Terrorismus passieren. Das wäre ein Aufschrei und alle Staaten würden alles unternehmen, damit dieses Abschlachten, Töten und indirekte Umbringen von Menschen sofort verhindert wird. Aber das Auto im Kopf sagt: Das ist ja wunderbar. Wichtig ist, dass ich mich bewegen kann.

Deutschlandfunk Kultur: Ja, aber es gibt auch noch so einen Widerspruch zwischen dem öffentlichen Diskurs und dem tatsächlichen Handeln. Wenn wir mal das Umweltbewusstsein der Menschen betrachten, da gibt es hier in Deutschland verschiedene Studien vom Umweltbundesamt, was eben belegt, dass das Umweltbewusstsein der Deutschen in den vergangenen Jahrzehnten stark gestiegen ist.

Außerdem gibt es Carsharing inzwischen. Und in den vergangenen Jahren war auch immer wieder zu lesen und zu hören, dass die jungen Leute eigentlich Autos gar nicht cool finden.

Nach diesen Angaben müssten es weniger Autos werden – wird’s aber nicht. Es werden immer mehr.

Man muss dem Auto Widerstände entgegensetzen

Herman Knoflacher: Das trifft auch dort zu, wo man sozusagen qualifizierte und wissenschaftlich fundierte Verkehrspolitik betreibt, wie etwa in Wien. In Wien haben wir etwa 340 bis 380 Pkw, je nach Bezirk, pro tausend Einwohner. In den umliegenden Bezirken, insbesondere am Land draußen, haben wir bis zu 770 Pkw auf tausend Einwohner. Das heißt, man muss dem Auto entsprechende Widerstände entgegensetzen.

Der Kernfehler, der passiert ist, liegt in der Umsetzung des § 2 der Reichs-Garagenordnung aus dem Jahr…

Deutschlandfunk Kultur: Das ist für Österreich?

Herman Knoflacher: Das ist für Deutschland. Sie haben das in allen Bauordnungen, ausgenommen in Berlin und Hamburg, nach wie vor drin. Aber dort hat man das erst seit einigen Jahren herausgenommen. Sie müssen zu jeder Wohnung einen Abstellplatz oder mehrere Abstellplätze auf eigenem Grund zur Verfügung stellen. Oder Sie müssen Strafe zahlen, das heißt, Ablösung zahlen. Das ist überall in Deutschland gefordert. Aber Sie brauchen bei einer Wohnung kein Kinderzimmer. Sie brauchen im Umfeld der Wohnung keinen Spielplatz für Kinder, wo sich die treffen können, für die Alten usw.

Das heißt, wir haben eine Bauordnung, die ist absolut menschenverachtend. Und die geht zurück auf die Reichs-Garagenordnung, herausgekommen am 1. April 1939. Und der § 2 ist in allen Bauordnungen Deutschlands und in Österreich nach wie vor vorhanden, sogar in einer unglaublich verschärften Form. Es gibt in Österreich Gemeinden, die verlangen bei einem Haus drei Parkplätze.

Das heißt, hier wird das Recht dazu eingesetzt, um menschliche Lebensräume zu zerstören und natürlich auch damit die Natur zu zerstören und gleichzeitig Abhängigkeit zu schaffen der Menschen vom Auto. Weil, die Abhängigkeit hängt von der Nähe zum Abstellplatz ab. Das heißt, wenn das Auto in der Nähe ist, dann fährt man in der Regel, ein normaler Mensch, selbstverständlich mit dem Auto. Da kann man dem Menschen erzählen, so viel wie man will. Er soll den öffentlichen Verkehr, das Fahrrad, Carsharing etc. etc benutzen, es hat sich in Deutschland in der gesamten Verkehrsmittelwahl dadurch praktisch nichts geändert.

Wir hatten 65 Prozent der Mobilität in Deutschland 1950 im öffentlichen Verkehr. Heute haben wir 17, 18 Prozent im öffentlichen Verkehr. Da kommt man nicht weg, solange man nicht das Auto aus den Siedlungen entfernt bzw. aus der Nähe der Wohnungen und Häuser.

Deutschlandfunk Kultur: Also, immerhin in Baden-Württemberg hat man die Reichs-Garagenordnung dahingehend modernisiert, dass man statt eines Autostellplatzes auch vier Fahrradstellplätze bauen kann. Das ist ja vielleicht schon mal ein Fortschritt.

Das Auto enthumanisiert den Menschen

Ich würde gern noch ein bisschen weiter zurückgehen in der Geschichte der Menschheit. “Eine kurze Geschichte der Menschheit”, so heißt ein berühmtes Buch von Yuval Noah Harari. Der schreibt ja, es sei nicht der Mensch, der den Weizen domestiziert habe, sondern es sei der Weizen, der den Menschen domestiziert habe. – Und wenn ich jetzt Ihnen zuhöre, Herr Knoflacher, dann komme ich auf die Idee, dass es offenbar mit dem Auto und dem Menschen ähnlich ist. Also, sind wir eigentlich die Domestiken des Autos?

Herman Knoflacher: Absolut, gar keine Frage. Es ist auch beim Weizen genau das Gleiche gewesen. Das finden Sie übrigens in meinem Buch “Zurück zur Mobilität” in der Einleitung, dass natürlich die Gräser herumstanden und dann offensichtlich den klugen Frauen aufgefallen ist, wenn sie die gut behandeln, da gibt es mehr Ernte. So wurde die Geschichte dann im Endeffekt entwickelt. So kamen wir dann zur Agrargesellschaft. Es waren die Frauen, die nicht so mobil waren wie die Männer und meistens deshalb auch etwas klüger und aufmerksamer die Umgebung beobachtet haben, nämlich die kleinen Dinge, nicht die großen Tiere und dergleichen.

Das ist das Wesentliche. Und beim Auto ist es überhaupt gar keine Frage, dass das Auto sozusagen den Menschen enthumanisiert, also autobilisiert hat. Dann entsteht ein anderes Lebewesen. Der Autofahrer unterscheidet sich ja vom Menschen wesentlich mehr als jedes Insekt, weil, es gibt kein Insekt, das sich im natürlichen Lebensraum so schnell bewegt, dass es sich selbst oder andere tötet. Es gibt kein Insekt, das den Lebensraum der Kinder opfert oder seiner Nachkommen opfert, wie es die Eltern tun.

Und dann fahren die mit dem Auto hin und her. Das ist ja unglaublich. Und der Flächenanspruch… Ich habe deshalb des “Gehzeug” seinerzeit 1975 erfunden. Es gibt heute bereits auf der ganzen Welt Nachbauten.

Deutschlandfunk Kultur: Das was bitte?

Herman Knoflacher: Das Gehzeug. Also, das Auto ist ein Fahrzeug. Und gemäß § 1 der österreichischen Straßenverkehrsordnung ist eine Straße ein öffentlicher Raum, der von allen unter gleichen Bedingungen benutzt werden darf. Und da dachte ich mir damals – damals hatte ich noch ein Auto -, wenn ich mit dem Auto so viel Platz brauche, dann mache ich mir ein Gehzeug anstatt des Fahrzeuges. Und dieses Gehzeug wird ja heute global, also, es wird in China gebaut, es wird in Fernost gebaut, in Amerika und überall. Das heißt, wenn jemand mit einem Rahmen, der so groß ist wie ein Auto, nehmen Sie einen SUV, das wird dann schon sehr unbequem….

Deutschlandfunk Kultur: Also, so ein Holzrahmen?

Herman Knoflacher: Ein Holzrahmen, ja, Asiaten machen das aus Plastikrohren. Wenn man mit diesem Rahmen im Straßenraum auftaucht, wird jeder sagen, das ist ja ein völlig asoziales Verhalten. Der ist ja verrückt. Aber wenn Sie mit dem Auto auftauchen, die anderen noch bedrängen, die Luft verpesten und die anderen gefährden, sagen sie: Oh, wir brauchen Parkplätze. Und wenn Sie diesen Rahmen dann mit vier Sesseln irgendwo stehenlassen, wird jeder sagen, sind die verrückt geworden. Und genau das ist es. Man muss durch das Auto durch sehen.

Deshalb müssen meine Studenten, die sind ja meistens in der Normalität des Autolebens aufgewachsen, alle eine Stunde Erfahrung mit dem Rollstuhl oder dem Kinderwagen machen, damit sie wissen, welche Katastrophe in den letzten fünfzig, sechzig Jahren hier gebaut wurde.

Deutschlandfunk Kultur: Herr Knoflacher, wir haben jetzt so ein paar Mal über die Abhängigkeit des Menschen vom Auto gesprochen, dem Auto, das im Gehirn sitzt, der Evolution. Dann muss die aber in dem Fall von Verhältnis von Auto und Mensch doch rasant sich entwickelt haben. Also, ich zumindest habe ich den Eindruck, dass es vor – sagen wir mal – dreißig Jahren noch wesentlich mehr Proteste gab gegen laute Straßen, gegen Durchgangsverkehr, für 30-Zonen usw. Und heute scheint man den Straßenverkehr aber hinzunehmen wie ein Naturphänomen. Gegen Regen kann man auch nichts unternehmen.

Herman Knoflacher: Das ist richtig. So wird er ja oder wurde er in der klassischen Verkehrswissenschaft ja auch behandelt.

Deutschlandfunk Kultur: Aber dieser rasante Wandel ist dann doch erstaunlich. Vielleicht liegt das einfach auch daran, dass heute nahezu jeder Erwachsene ein Auto hat und deswegen nicht mehr gegen andere Autos protestiert.

Die Autoindustrie setzt sich gleich mit der Wirtschaft

Herman Knoflacher: Absolut. Das ist gar keine Frage. Dann zeigt man mit dem Finger auf ihn. Aus diesem Dilemma muss man natürlich herauskommen, wenn man will. Wenn man nicht will, dann darf man sich nicht wundern, dass man irgendwann einmal mit dieser Methode gegen die Wand fährt.

Hier kommt ja noch etwas zum Tragen. In Deutschland besonders ist ja zu erkennen, dass – wenn von Wirtschaft die Rede ist – die Autoindustrie jahrzehntelang gesagt hat, ich bin die Wirtschaft, obwohl sie einen relativ kleinen Anteil an Beschäftigten nur mehr hat, weil sie sehr automatisiert arbeitet und sehr viel ausgelagert hat.

Das heißt, hier ist die Wachstumsideologie mit dem Autobestand sozusagen parallel gewachsen. Das Auto fördert ja eigentlich permanent das Wachstum, weil, es zerstört die ganze Zeit sozusagen die Fahrbahnen, auf denen es fährt. Das muss permanent erneuert werden. Es bringt Umsätze dadurch, dass die Leute immer mehr in geschlossenen Gebäuden wohnen. Es kommt dadurch zu einem höheren Umsatz, weil die Wohnungen größer werden, weil öffentlicher Raum nicht mehr zugänglich ist. Die Wohnungen konnten ja früher sehr klein gehalten werden, weil die Menschen ja vielfach sich zumindest zu einem Teil im öffentlichen Raum aufhalten konnten, das ist ja heute nicht mehr der Fall …

Deutschlandfunk Kultur: … je weiter im Süden, desto mehr.

Aber ich muss Ihnen da etwas widersprechen, Herr Knoflacher. Es ist so, dass 800.000 Menschen direkt bei den Autobauern und Zulieferern arbeiten. Insgesamt sollen rund 1,8 Millionen Arbeitsplätze von der Autoindustrie abhängig sein. Insgesamt hat nirgendwo, in keinem anderen Land der Welt die Autoindustrie einen so großen Anteil an der Wertschöpfung des Landes. Insofern ist es ja wahrscheinlich auch kein Wunder, dass sich kein Politiker ernsthaft gegen die Zunahme des Autoverkehrs einsetzt.

“Das Auto wird ja an allen Ecken und Enden massiv gefördert”

Herman Knoflacher: Man muss der Wertschöpfung auch immer die Wertverluste gegenüberstellen. Die Wertverluste sind die abnehmende Lebensqualität, die Verlärmung, die Vergasung der Lust, die enormen Erhaltungskosten, die Sozialkosten und dergleichen, die dem Auto nicht angelastet werden – noch bis heute. Und diese unglaubliche Förderung, das Auto wird ja an allen Ecken und Enden massiv gefördert. Sie können in Berlin oder in den Städten ja praktisch kostenlos oder mit geringem Aufwand Ihr Auto abstellen. Die Supermärkte kaufen sich ein Grundstück, machen dort eine Reihe von Parkplätzen, und sie zahlen nicht die entsprechenden Abgaben, die ihre Konkurrenten seinerzeit, die es noch gab in der Stadt, an Abgaben leisten mussten, indem Kurzparkzonen eingeführt wurden.

Das heißt, es hinkt an allen Ecken und Enden im Rechtssystem, das total auto-orientiert aufgestellt ist. Das Auto hat enorme Privilegien. Etwa allein der Begriff “Gehsteige”: Also, die Menschen müssen sozusagen auf einem Steig dahingehen, damit sich die Autos Fangespiele leisten können. Und wenn das nicht gut funktioniert, dann gibt’s einen Stau. Und dann glaubt man, dass man den Stau durch zusätzliche Angebote jeweils bekämpfen kann.

In Wirklichkeit gibt es ja im Autoverkehr keine Zeiteinsparung gegenüber den Fußgängern. Das heißt, Fußgänger, Radfahrer und Autofahrer sind genauso lange unterwegs, obwohl die Geschwindigkeiten sehr unterschiedlich sind.

Durch die hohen Geschwindigkeiten des Autos werden nur die Strecken länger. Und wenn die Strecken länger werden, ändern sich die Siedlungsstrukturen. Wir haben dann zwei Entwicklungen. Das eine ist die Zersiedelung, also urban sprawl der Stadt. Und das zweite ist die ökonomische Konzentration.

Das heißt, wir lösen eine ganze Reihe von Prozessen aus, die an sich in der Evolution zwangsläufig früher oder später zur Vernichtung dieser Strukturen führen müssen, weil, es gibt ja keine Jäger sozusagen in der Natur, die mehr Energie aufwenden als sie im Endeffekt aus der Beute herausbekommen. Und wir machen heute noch ergiebig Beute, die wir mehr oder weniger subventioniert vergeuden.

Deutschlandfunk Kultur: Wenn Sie sich jetzt auf die Zersiedelung konzentrieren und auf den Platzanspruch, den Autos haben, und auf die Verkehrstoten, die durch den Verkehr entstehen, dann nehme ich an, Herr Knoflacher, dass Sie auch die Forderung der EU-Kommission von dieser Woche nicht weiter beruhigen wird. Die haben ja das Ziel vorgegeben, dass neue Fahrzeuge im Jahr 2030 im Schnitt dreißig Prozent weniger CO2 ausstoßen dürfen. Also, ab 2021 sind es schon mal weniger als heute.

Die deutsche Autoindustrie hat jetzt schon davon gesprochen, dass sie das für eine “extreme Herausforderung” hält. Halten Sie das wenigstens für einen Beschluss, der in die richtige Richtung weist, wenn wir jetzt mal an die Luftverschmutzung denken?

Herman Knoflacher: Das ist, würde ich sagen, ein sehr zarter Beschluss. Wir diskutieren auch immer in dem Zusammenhang die Elektromobilität. Wir haben Elektromobilität. Also, wir beide haben im Augenblick Elektromobilität, ich hoffe, in jener Form, die erforderlich für die Menschheit waren, nämlich geistige Mobilität. – Die wird immer wieder vergessen.

Das heißt, physische und geistige Mobilität hängen unmittelbar zusammen. Je weniger geistige Mobilität, umso mehr physische Mobilität. Das heißt, die Zersiedelung ist ja eine Folge des Nichtbegreifens der menschlichen Siedlungen. Wenn man menschliche Siedlungen früher gebaut hat, musste man ziemlich viel Hirnschmalz aufwenden, um die richtig zusammenzusetzen, kompakt so zu gestalten, dass später sozial und ökologisch das Ganze funktioniert.

“Wir bauen immer hässlichere Städte”

Seitdem wir mit dem Auto unterwegs sind, ist das vollkommen gleichgültig. Das heißt, wir bauen immer hässlichere Städte. Wir zersiedeln die ganze Gegend immer mehr und müssen immer weiter fahren, wenn wir komplementäre Funktionen brauchen. Wir haben immer weniger Beschäftigte in den zentralen Geschäftsstrukturen, wir haben das untersucht, im Vergleich zu den kleinen Geschäften. Und die Menschen, die dort arbeiten, sind immer unglücklicher als die mit kleinen Geschäften, die die Kunden kennen – usw.

Deutschlandfunk Kultur: Aber man kann doch nicht bestreiten, wenn jetzt das E-Auto, angenommen, es würde flächendeckend eingeführt werden, dann gibt es immerhin keinen Lärm mehr und kein CO2 wird ausgestoßen.

Herman Knoflacher: Also, erstens, das sind zwei Irrtümer.

Deutschlandfunk Kultur: Das wäre doch ein enormer Fortschritt.

Herman Knoflacher: Nein, nein, da sind zwei Irrtümer dabei. Erstens einmal, der Lärm kommt ja nicht aus dem Motor. Das wird ja völlig falsch interpretiert. Ab dreißig, vierzig km/h ist die Lärmquelle der Reifen. Und Elektroautos werden, wenn es nicht leichte Batterien irgendwann einmal geben sollte, schwerer sein als die normalen benzinbetriebenen oder dieselbetriebenen Fahrzeuge, die eine wesentlich höhere Energiedichte haben als die Elektroautos. Das heißt, die werden noch schwerer werden. Damit wird mehr Lärm sein.

Außerdem werden diese Reifen, wie es heute bereits der Fall ist, was immer unter den Tisch gekehrt wird, einen wesentlichen Beitrag zur Feinstaubentwicklung leisten. Das ist das eine.

Das zweite: Ein Elektroauto ist in der Regel nicht einen Quadratmillimeter kleiner als ein normales benzinbetriebenes Auto. Und das Problem ist eigentlich der Platz. Es geht um den Platz. Hier am Platz wird der Mensch aus dem öffentlichen Raum und aus den Städten usw. verdrängt. Das ist die Frage: Wenn wir weiterhin so machen wollen, es ist den Menschen überlassen.

Zurück zum menschlichen Maßstab

Aber dann dürfen sie sich nicht wundern, dass sie irgendwann einmal große Probleme insgesamt mit der Zukunft haben werden.

Das heißt, wir müssen wieder zurück auf den menschlichen Maßstab. Es ist der einzige Maßstab, der zu uns passt. Es ist der Maßstab des Fußgängers. Dem sind wir geistig gewachsen. Und den höheren Geschwindigkeiten sind wir geistig nicht gewachsen. Das heißt, wir müssen, wenn wir schnell unterwegs sind, die Umwelt derart drangsalieren und vereinfachen, dass wir mit den Informationen, die dann auf ein Minimum reduziert werden, noch auskommen. Das ist dann die Autobahn.

Also, die dümmsten Studenten können eine Autobahn projektieren, aber nur die begabtesten sind in der Lage, eine gute Fußgängerzone zu planen.

Deutschlandfunk Kultur: Ja. Und diese geistige Arbeit wird uns ja aber auch dann demnächst durch das autonome Fahren abgenommen werden. Glauben Sie, dass das das Autofahren attraktiver machen wird oder vielleicht weniger attraktiv, wenn ein Computer statt eines Menschen, statt eines Mannes das Auto steuert?

Herman Knoflacher: .. oder einer Frau. Ich glaube, es macht den Frauen und den Männern Vergnügen Auto zu fahren. Also, wenn das autonom stattfindet, dann zeigt das nur eine lineare Fortsetzung der Abwertung des Menschen. Das heißt, der Mensch wird zum Transportgut abgewertet. Dazu will man noch viele Autos verkaufen. Also, wenn ich schon sozusagen den Menschen als transportiertes Lebewesen betrachte, steht uns der öffentliche Verkehr zur Verfügung. Aber sozusagen die Freude des Fahrens wird vielleicht nicht mehr so groß sein, es sei denn, für jene, die das Auto wirklich brauchen. Die Lösung ist ja nicht kein Auto, sondern die richtige Dosis. Das ist so, wie Paracelsus gesagt hat: “Alles ist Gift. Es kommt immer auf die Dosis an.” Und beim Auto sind wir schon längst über die sozusagen lebensfähige Dosis hinaus geraten.

Also, wenn es die Behinderten sind, der Lieferverkehr, das Handwerk und dergleichen, die werden auch in Zukunft meiner Ansicht nach mit dem Auto unterwegs sein müssen, egal, wie es angetrieben wird. Aber die sind ja als Dienst am Menschen und als Dienst der Gesellschaft unterwegs, aber nicht sozusagen aus Nachlässigkeit oder Bequemlichkeit.

Da darf ich noch etwas dazu sagen: Ungefähr 85 bis 90 Prozent der Autofahrten dienen nicht dem Lastentransport. Es sind ja nur acht bis zehn Prozent der Autofahrten, der Pkw, die mehr Lasten transportieren als ein Fußgänger, Radfahrer oder Benutzer des öffentlichen Verkehrs transportiert.

Deutschlandfunk Kultur: Nun wissen wir alle, dass es Situationen gibt, in denen es nicht nur subjektiv, sondern auch objektiv tatsächlich Wege gibt, wo es wesentlich schneller und einfacher geht mit dem Auto als mit dem Öffentlichen Nahverkehr, weil es möglicherweise gar keinen Öffentlichen Nahverkehr gibt oder der dann so schlecht ausgebaut ist, dass ich zwei Stunden unterwegs bin statt einer halben mit dem Auto. Auch deswegen wird ja immer wieder gefordert, man müsste unbedingt den Öffentlichen Nahverkehr ausbauen.

Sie haben vorhin die Zahlen genannt, die beeindruckenden Zahlen, wie sehr der Anteil am gesamten Verkehrsaufkommen des Öffentlichen Nahverkehrs gesunken ist.

Und, zweiter Punkt: Die Nutzung billiger machen. Manche fordern ja sogar, der Öffentliche Nahverkehr sollte kostenlos für alle sein. Ich, Herr Knoflacher, kann mir – ehrlich gesagt – nicht vorstellen, dass ein BMW-SUV-Fahrer auf die U-Bahn umsteigt, weil sie nichts mehr kostet. Ich glaube, das ist nicht das Problem, oder?

Herman Knoflacher: Da haben Sie vollkommen Recht. Es hat diese kostenlose ÖV-Benutzung noch nie irgendwo eine wesentliche Änderung erzeugt. Was eine Änderung erzeugt, sind die Eingriffe in den Parkraum. Wenn Sie, so wie in Wien in den meisten Bezirken, heute mit dem Auto hineinfahren, sind Sie automatisch eine Kurzparkerin oder ein Kurzparker. Das heißt, Sie müssen die normalen Kurzparktarife den ganzen Tag zahlen. Wenn Sie ein Bewohner sind, dann müssen Sie auch Abgaben leisten, wenn Sie Ihr Auto im öffentlichen Raum abstellen.

Das heißt, es gibt keine kostenlosen Parkplätze im Wesentlichen mehr in der Stadt. Und dies hat dazu geführt, dass sich die Menschen andere Lösungen gesucht haben. Wir haben einen exzellenten öffentlichen Verkehr, das ist richtig. In den 60er Jahren hat die Stadt Wien noch die Straßenbahnen abgebaut. Wir bauen sie heute wieder. Wir haben die U-Bahn. Wir haben ein dichtes Bus-Netz. Und wir haben einen 24-Stundenbetrieb mit den Bussen und am Wochenende auch mit der U-Bahn.

Es gibt billigere Alternativen

Das heißt, es gibt Alternativen. Und die Menschen reagieren auch dementsprechend. Das heißt, in Wien hat in den 90er Jahren die Autobenutzung abgenommen. Und zehn Jahre später, ab 2002, hat in den meisten Bezirken der Autobesitz abgenommen. Das heißt, nicht deshalb, weil sich die Leute das Auto nicht mehr leisten können, sondern weil sie erkannt haben, es gibt andere Alternativen, die sind intelligenter.

Das heißt, hier zeigt sich, dass die Gemeinschaft einfach intelligenter ist als der – ich würde sagen – in den Exzess getriebenen Individualismus, der beim Autofahren entsteht. Man ist ja als Autofahrer im Prinzip immer gegen andere aggressiv oder man ist asozial, genau genommen. Keinem Menschen würde es einfallen, dass er andere mit karzinogenen Gasen besprüht. Aber im Auto passiert das, usw. – oder andere bedroht oder Kinder bedroht, indem man sie zwingt, die Hauswände entlang zu gehen, anstatt den öffentlichen Raum zu nutzen.

Diesbezüglich wäre ich ein Anhänger des autonomen Fahrens, weil, dann können wir im Wesentlichen die Gehsteige alle wegräumen und die Menschen können sich wieder frei bewegen. Und man wird auch sehr schnell feststellen, dass die einzige Geschwindigkeit des autonomen Fahrzeuges im urbanen Raum und in den Dörfern die des Fußgängers ist.

Deutschlandfunk Kultur: Also, wenn ich Sie richtig verstehe, müsste dann Hand in Hand gehen, Sie wollen Parkplätze abbauen und den Öffentlichen Nahverkehr ausbauen, so wie es in Ihrer Stadt, in Wien geschehen ist. Das halten Sie für vorbildlich?

300 bis 600 Euro Parkgebühr

Herman Knoflacher: Ja, das ist sicher der Fall. Es ist nicht nur Wien. Auch anderswo findet das statt. Aber man muss vor allem die Autofahrer sozusagen aus der infantilen Phase, in der sie sich befinden, wo man ihnen alle Wünsche abliest und erfüllt, was ja auf der Bundesebene noch viel mehr der Fall ist als auf der Gemeindeebene und auf der städtischen Ebene, sie müssen langsam für das, was sie der Gesellschaft kosten, auch einen Beitrag leisten.

Das heißt, wenn ich zum Beispiel das Auto in Berlin oder in Wien in der Innenstadt auf dem öffentlichen Grund stehen lasse oder parke dort, müsste ich eigentlich im Monat dreihundert bis sechshundert Euro Parkgebühr zahlen. Das ist aber nicht der Fall. Also wird das Auto nach wie vor in diesem Ausmaß subventioniert. Wenn ich mir den Hilfeschrei Ihrer Bürgermeister vorstelle, der vor ungefähr zwei Jahrzehnten erschallt ist, “Rettet unsere Städte jetzt!”, weil ihnen das Geld ausgegangen ist – das Geld liegt auf der Straße. Die Bürgermeister müssen nur den Mut haben, das Auto anzugreifen.

Aber das Auto in den Köpfen der Politiker erlaubt das nicht. Das ist das Problem.

Deutschlandfunk Kultur: Felix Austria hat keine eigene Autoindustrie. Ich danke Ihnen ganz herzlich, dass Sie sich die Zeit für unser Tacheles genommen haben, Prof. Dr. Herman Knoflacher.

Herman Knoflacher: Danke. Es war ein Vergnügen, mit Ihnen das Interview zu machen.

Deutschlandfunk Kultur: Dankeschön.

Galois Field Theory

Galois Field Theory

Article by Dan Goodman
Published February 2002,February 2011.

This is a short introduction to Galois theory. The level of this article is necessarily quite high compared to some Nrich articles, because Galois theory is a very difficult topic usually only introduced in the final year of an undergraduate mathematics degree. This article only skims the surface of Galois theory and should probably be accessible to a 17 or 18 year old school student with a strong interest in mathematics. There is a short and very vague overview of a two important applications of Galois theory in the introduction below. If you want to know more about Galois theory the rest of the article is more in depth, but also harder.

The two most important things to know about in order to understand the in depth part of the article are complex numbers and group theory. If you’ve not come across complex numbers before you can read An Introduction to Complex Numbers , which should be accessible to 15 or 16 year old students. If you haven’t come across group theory before, don’t worry. I introduce the idea of a group below, although it might be better to try and find a book or web site that goes into more detail.

1 Introduction

1.1 Motivation

Galois theory is a very big subject, and until you are quite immersed in mathematical study in a way which is unusual unless studying for a degree in maths, it can seem quite pointless. However, there are two problems which provide some motivation for studying Galois theory – the existence of polynomials which aren’t soluble by radicals, and some results about classical Euclidean geometry, for example that you cannot trisect an angle using a ruler and compass, and that certain regular polygons cannot be constructed using a ruler and compass.

The first problem is this, given a polynomial p(x) with rational coefficients, for example p(x)=x2+3x+1, can you express the roots of p(x) using only rational numbers, multiplication, division, addition, subtraction and the operation of raising a number to the power 1/n for n an integer? So, for example, we can solve ax2+bx+c=0 using only these operations, because we know that the solutions are:
The coefficients a, b, c are all rational, and we have only used multiplication, division, addition, subtraction and square root (which is raising to the power of 1/2).

We can find more complicated examples, suppose p(x)=x4−4×2+2. We can factorise this as p(x)=(x2−2)2−2. So the solutions will satisfy x2−2=±2√, or x2=2±2√. Square rooting this we get x=±2±2√−−−−−−√. So, x4−4×2+2 can be solved in this way too.

Definition When we can find the solutions for a polynomial with rational coefficients using only rational numbers and the operations of addition, subtraction, division, multiplication and finding nth roots, we say that p(x) is soluble by radicals.

Using Galois theory, you can prove that if the degree of p(x) (i.e. the highest power of x in p(x)) is less than 5 then the polynomial is soluble by radicals, but there are polynomials of degree 5 and higher not soluble by radicals. In other words, polynomials of degree 5 whose solutions cannot be written down using nth roots and the arithmetical operations, no matter how complicated.
1.2 History

So, why is Galois theory called Galois theory? The answer is that it is named after a French mathematician Evariste Galois (1811-1832) who did some very important work in this area. He had a very dramatic and difficult life, failing to get much of his work recognised due to his great difficulty in expressing himself clearly. For example, he wasn’t admitted to the leading university in Paris, the Ecole Polytechnique , and had to make do with the Ecole Normale . He also met with difficulty because of his political sympathies, he was a republican. This led to him being expelled from the Ecole Normale when he wrote a letter to a newspaper criticising the director of the school. He joined a republican branch of the militia and was later imprisoned (twice) because of his membership. The second time whilst in prison he fell in love with the daughter of the prison physician, Stephanie-Felice du Motel and after being released died in a duel with Perscheux d’Herbinville . The reasons for the duel are not entirely clear, but it seems likely it had something to do with Stephanie. His death started republican riots and rallies which lasted for several days.

Although Galois is often credited with inventing group theory and Galois theory, it seems that an Italian mathematician Paolo Ruffini (1765-1822) may have come up with many of the ideas first. Unfortunately his ideas were not taken seriously by the rest of the mathematical community at the time. There are some links at the end of this document for anyone interested in finding out more about the history of group theory and Galois theory.
1.3 Overview

Galois theory is concerned with symmetries in the roots of a polynomial p(x). For example, if p(x)=x2−2 then the roots are ±2√. A symmetry of the roots is a way of swapping the solutions around in a way which doesn’t matter in some sense. So, 2√ and −2√ are the same because any polynomial expression involving 2√ will be the same if we replace 2√ by −2√. For example, we know that 2√2+2√+1=3+2√. Or α2+α+1=3+α when α=2√. However, the same equation is true when α=−2√, and this will be true for any expression involving only adding and multiplying 2√.

The way the result about solubility by radicals above is proved (using Galois theory) is to prove a result about the collection of symmetries among the roots of a polynomial given that the roots are built up using only the special operations above. (It turns out that the collection of symmetries must form what is called a soluble group. More on this near the end of this article.) Then you find a polynomial for which the symmetries of the roots does not have this special property, so you know that the roots couldn’t be built up from the special operations.

The subject of the rest of this article is making precise what we mean by a symmetry of the roots and about the structure of the collection of these symmetries.
1.4 Notation

Throughout this article, I’ll use the following notation. The set of integers will be written Z, so writing n∈Z means that n is in Z, the set of integers, i.e. n is an integer. The set of rational numbers is Q, the set of real numbers is R and the set of complex numbers is C.
1.5 Advice on reading this article

The rest of this article is quite difficult. A large number of new ideas are introduced and used over and over again, and there are lots of unfamiliar words. By the end of the article I’ll be using phrases like Q[1+2√−−−−−−√] is a radical field extension of Q because it can be built up using only cyclotomic field extensions at each stage. Don’t be too put off by this seemingly alien language, every word is explained as it is introduced. The best strategy for reading it is to go slowly and make sure you understand exactly what every word means before going on to the next section, because that word will be used again and again, and if you don’t quite understand it then everything will just get more and more confusing as you read on. However, if you are reading this online you can simply click on any of the underlined words and the original definition will pop up in a small window.

2 Groups and Fields

2.1 Groups

Definition (Group):
A group G is a collection of objects with an operation ⋅ satisfying the following rules (axioms):

(1) For any two elements x and y in the group G we also have x⋅y in the group G.
(2) There is an element (usually written 1 or e, but sometimes 0) called the identity in G such that for any x in the group G we have 1⋅x=x=x⋅1.
(3) For any elements x, y, z in G we have (x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z) (so it doesn’t matter what order we do the calculations in). This property is called associativity ; it means we can write x⋅y⋅z unambiguously (otherwise it would not be clear what we meant by x⋅y⋅z: would it be x⋅(y⋅z) or (x⋅y)⋅z?).
(4) Every element x in G has a unique inverse y (sometimes written −x or x−1) so that x⋅y=y⋅x=1.
For example, the integers Z are a group with the operation of addition (we write this group(Z,+) or sometimes, lazily, just Z). We can check thefour axioms: (1) If n, m are integers then n+m is an integer, so we’re OK here. (2) n+0=n=0+n so 0 is the identity for the integers. (3) (n+m)+p=n+m+p=n+(m+p) so + is associative. (4) n+(−n)=0=(−n)+n so we have inverses.

However, the integers are not a group with multiplication, because the identity on the integers with multiplication is 1, and there is no integer n with 2n=1.

Definition (Cyclic Group):
Important finite groups are things like Cp which is the cyclic group of order p . This is the set of elements 1, x, x2, …, xp−1 with the operation xn⋅xm=xn+m and also the relation that xp=1. So, for example, in C5 we have that x2⋅x4=x6=x5⋅x=x. You can tell this is a group because the inverse of xn is xp−n.
Definition (Symmetric Group):
Another important example of a finite group is Sn, the symmetric group on n elements . Suppose we rearrange the numbers 1, 2, …, n. For example, we could rearrange 1, 2, 3 to 2, 3, 1. In other words, we take 1 to 2, 2 to 3 and 3 to 1. The collection of all of these rearrangements forms a group. The operation is do the second one, then the first. So, if we write σ for the rearrangement 1, 2, 3 goes to 2, 3, 1 and τ for the rearrangement 1, 2, 3 goes to 3, 2, 1 then the rearrangement σ⋅τ does the following: it rearranges 1, 2, 3 to 3, 2, 1 (that’s τ) then it rearranges this to 1, 3, 2 (because σ takes 3 to 1, 2 to 3 and 1 to 2). So the group Sn is the collection of rearrangements of 1, 2, 3, …, n.

Another way of thinking about it, for those who are happy with the ideas of sets and functions, is to define the symmetric group on a set X to be SX={f:X→X|fis invertible} with the operation that for the functions f, g∈SX we have the function f⋅g defined to be (f⋅g)(x)=f(g(x)). The symmetric group above, Sn=S{1,2,…,n}, is the symmetric group on a set with n elements.
At this point, you may want to check you’ve followed so far. See if you can prove that Sn is a group and that it has n! elements. If you’re happy with the idea of sets and functions then you can prove that SX is a group even if X is an infinite set.
2.2 Fields

Definition (Field):
A field F is a bit like a group, but we have two operations, usually written ⋅ and +. F is a field if F has elements 0 and 1 such that F with the operation + is agroup (i.e. (F,+) is a group), the set F without the element 0 is a group with the operation ⋅ (i.e. (F∖{0},⋅) is a group) and we have relations like (x+y)⋅z=x⋅z+y⋅z (we say that ⋅ is distributive over +), 0⋅x=0=x⋅0, x⋅y=y⋅x and x+y=y+x (which isn’t always true for a group) and so on.

The definition of a field above is quite abstract, all it means is that a field is a set in which you can add, subtract and multiply any elements, and you can divide by any element other than 0.
A good example of a field is the real numbers or the rational numbers. (Check the axioms.)

A less obvious example of a field (the important example for Galois theory) is Q[2√]. This is the set of all numbers which can be written a+b2√ for a and b rational numbers. It is not immediately obvious that this is a field, because we do not know, for example, if 1/(a+b2√) can be written as c+d2√. However, you can always do this. If x=1/(a+b2√) then (multiplying the top and bottom by a−b2√):
And (a+b2√)(a−b2√)=a2−2b2=p say. So we have that x=a/p−(b/p)2√. So Q[2√] really is a field (the other axioms are clearly true, check them if you like).

Definition (Algebraic Number):
More generally, if α is a real number with the property that p(α)=0 for some polynomial p(x), then we say that α is an algebraic number.
If α is an algebraic number then Q[α] is a field. We can think of Q[α] in two ways. Firstly, as the set of elements a0+a1α+…+an−1αn−1 where each ai is a rational number and n is the smallest integer such that there is a polynomial p(x) of degree n with p(α)=0. The second way is that Q[α] is the smallest field extension of Q containing α, this is explained in the next section. You can try to prove that Q[α] is a field if you like, but you need to know a theorem called the Remainder Theorem.

This gives us lots of examples of fields. For example, Q[2√3]={a+b2√3+c2√32:a,b,c∈Q} is a field.

You can extend this idea to define, for α, β both algebraic, Q[α,β] to be the set of all expressions like 2αβ, α+α2β, and so on.

To test yourself, you might like to see if you can show that Q[α,β]=Q[α][β] (the right hand side makes sense because Q[α][β]=K[β] where K=Q[α] which is a field). This shows that Q[α,β] is a field.

This gives us even more examples of fields, for example Q[2√,3√]={a+b2√+c3√+d6√:a,b,c,d∈Q}.
2.3 Field extensions

Definition (Field Extension):
A field extension of a field F is a field K containing F (we write a field extension as F⊆K or K/F). For example, the real numbers are a field extension of the rational numbers, because the reals are a field and every rational is also a real number.
The example above, Q[2√] is a field extension of Q since if a∈Q then a+02√∈Q[2√], so Q⊆Q[2√]. More generally we have that Q[α] is a field extension of Q for α an algebraic number.
2.4 Splitting Fields

Here’s where the Galois theory bit starts.
Definition (Splitting Field):
Given a polynomial p(x) we have what is called the splitting field of p(x) which is the smallest field extension of Q that contains all the roots of p(x). So, if p(x)=x2−2 then the splitting field of p(x) is Q[2√] (it contains all the roots of p(x) and if it had fewer elements it either wouldn’t contain all the roots or wouldn’t be a field).
Another example is that the splitting field of p(x)=x4−5×2+6 is Q[2√,3√]. Can you see why?
3 Automorphisms and Galois Groups

3.1 Automorphisms

At this point you may be wondering why I was talking about symmetries of roots at the beginning of this article. Here’s where the idea of a field automorphism comes in. Let’s use Q[2√] as an example. If we define a function f:Q[2√]→Q[2√] by taking f(a+b2√)=a−b2√ then we find that f is what is called a field automorphism.

Definition (Field Automorphism):
A field automorphism f has to be an invertible function (which the f above clearly is) such that f(x+y)=f(x)+f(y), f(ax)=f(a)f(x) and f(1/x)=1/f(x).
You can check that for the function f above really does satisfy all the conditions.

The idea of a field automorphism is that it is just a way of relabelling the elements of the field without changing the structure at all. In other words, we can replace the symbol 2√ with the symbol −2√, do all our calculations and then change the symbol −2√ back to 2√ and we get the right answer. Field automorphisms are the right way of expressing this idea, because the conditions that f(x+y)=f(x)+f(y) preserve multiplication, addition and so on.

Definition (F-Automorphism):
More specifically, if we have a field extension K of a field F, then an F-automorphism of K is an automorphism f of K with the additional property that f(x)=x for all x in F.
This is the precise way of defining the symmetry of the roots that I talked about above, because the F-automorphism leaves all elements of F unchanged and only relabels the new elements we added to form K. It turns out that for Q[2√] the function f I defined above is the only Q-automorphism other than the obvious g(x)=x.

If p(x) is any polynomial (with rational coefficients, as always), K/Q is a field extension, and f is a Q-automorphism of K then f(p(x))=p(f(x)), see if you can prove this.

The reason this is useful is that it shows that a Q-automorphism of a splitting field K of a polynomial p(x) rearranges the roots of p(x). If p(α)=0 then p(f(α))=f(p(α))=f(0)=0, so f(α) is then a root of p(x).

In fact, we can go further than this and show that knowing how a Q-automorphism of a splitting field rearranges the roots of p(x) is enough to tell us precisely what that Q-automorphism does to every element of the splitting field. However, not every rearrangement of the roots of p(x) comes from a Q-automorphism. For example, if p(x)=x4−5×2+6 (which we showed has splitting field K=Q[2√,3√]) which has roots ±2√ and ±3√ then there is no Q-automorphism f of K with f(2√)=3√. Suppose there was, then f(2√)2=f(2√2)=f(2)=2 because f preserves multiplicative structure and f(x)=x for rational x. But if f(2√)=3√ then f(2√)2=3√2, i.e. 2=3 which is clearly nonsense.

So now we can see why a Q-automorphism of a splitting field gives us exactly the right idea of a symmetry of the roots which doesn’t matter (i.e. doesn’t change the structure at all).

So for the polynomial p(x)=x2−2 we have the following:

(a) The splitting field of p(x) is Q[2√].
(b) The Q-automorphisms of p(x), which we can think of as the symmetries of the roots, are f(a+b2√)=a−b2√ and g(x)=x.

At this point, you may want to see if you can find the splitting field and the Q-automorphisms ofp(x)=x2−5 (two Q-automorphisms), and if you know about complex numbers, you could try x4−1 (also two Q-automorphisms).
3.2 The Galois Group

Definition (Galois Group):
Now, if we have a field F which is a field extension of Q then we have a collection G of Q-automorphisms of F. This collection G is a group (with the operation defined by: if f and g are in G, i.e. they are Q-automorphisms of F, then f⋅g is a Q-automorphism defined by (f⋅g)(x)=f(g(x)) – check that this really is a group). It is called the Galois group of the field extension F over Q , usually written Gal(F/Q). If F is the splitting field of a polynomial p(x) then G is called the Galois group of the polynomial p(x), usually written Gal(p).
So, taking the polynomial p(x)=x2−2, we have G=Gal(p)={f,g} where f(a+b2√)=a−b2√ and g(x)=x. Here, g is the identity element of the group, and we have that f⋅f=g, because (f⋅f)(a+b2√)=f(f(a+b2√)=f(a−b2√)=a+b2√=g(a+b2√). So, the group G is the same as C2, the cyclic group of order 2, or S2, the symmetric group of order 2, because we have a single element f with f2=f⋅f=1 the identity on the group.

As an exercise, you might like to find the Galois group of p(x)=ax2+bx=c. [Hint: there are two cases to consider, b2−4ac=r2 for some rational r or b2−4ac≠r2 for any rational r.]

If you know a bit about complex numbers (specifically, roots of unit) and you’re quite adventurous, you might like to try and show that for p(x)=xq−1 with q a prime number, Gal(p)=Cq−1 the cyclic group of order q−1.

If you know about subgroups, you can use the fact that the Q-automorphisms of a splitting field rearrange the roots (and that the rearrangement of the roots alone tells us what the Q-automorphism is) is to show that Gal(p)≤Sn where n is the degree of p(x). In particular, all polynomials have finite Galois group.
4 Solubility by Radicals

To go any further into Galois theory would, unfortunately, be too complicated. I’ll sketch the rest of the proof of the existence of polynomials that are not soluble by radicals.

Definition (Cyclotomic Field Extension):
First, you define a cyclotomic field extension to be a field extension of F where you take an element x in F and add the nth root. So, Q[2√] is a cyclotomic field extension of Q.
Definition (Radical Field Extension):
Second, you define a radical field extension K of a field F to be a field extension which you can get to only using cyclotomic field extensions. So, Q[1+2√−−−−−−√] is a radical field extension because you can start with Q, add 2√ to form Q[2√]. Now, 1+2√ is in Q[2√], so taking the square root of this you get Q[1+2√−−−−−−√]. If the polynomial p(x) is soluble by radicals, then the splitting field F of p(x) is a radical field extension of Q (can you see why?).
Third, you prove that the Galois group of any radical field extensionis soluble. This is the hardest part by a long, long way. In fact, I’m not even going to attempt to explain what a soluble group is here, because it would take too long.

Fourth, you prove that the group S5 (the symmetric group on 5 elements) is not soluble. If you know a bit of group theory, this isn’t very difficult.

Fifth, you find a polynomial p(x) whose Galois groupis S5. The splitting field of this polynomial cannot be a radical field extension (because all radical field extensions have soluble Galois groups, so the roots of p(x) cannot be built up from +, −, ×, / and the nth roots.
5 Trisecting Angles

As I mentioned above, you can use Galois theory to show that it is impossible to trisect all angles using ruler and compass methods. I’ll outline a proof that you cannot construct an angle of 20∘ using ruler and compasses (and so you cannot trisect an angle of 60∘).
Definition (Constructible Numbers and Constructible Field Extensions):
The basic idea is to define a constructible number to be a real number that can be found using geometric constructions with an unmarked ruler and a compass. You can show that any constructible number must lie in a field extension Q[α1−−√,α2−−√,…,αn−−√] with each αi∈Q[α1−−√,…,αi−1−−−−√]. We’ll call a field extension that looks like this a constructible field extension . So, for example, Q[2√] is a constructible field extension, and so is Q[1+2√−−−−−−√], because you can write Q[1+2√−−−−−−√]=Q[2√,1+2√−−−−−−√].
It’s not obvious that any constructible number must lie in a field extension of this form, but we can sort of see why because given line segments of length x, y, it is possible to construct other line segments of length x+y, xy and 1/x using geometric constructions. Moreover, you can construct a line segment of length x√ using only geometric constructions. In fact, you can also show that these are the only things you can do with geometric constructions. (If you want to try, the way to prove this is to use the fact that all you can do with unmarked rulers and compasses is to find the intersection between two lines, which only gives you arithmetical operations, find the intersection between a line and a circle, which gives you square roots, and intersections between circles and circles, which gives you square roots.) Can you see why this means that a number in a constructible field extension (as defined above) can be constructed using only an unmarked ruler and compass, and that only numbers in constructible field extensions can be made in this way?

Next, you show that if you have a cubic polynomial p(x)=ax3+bx2+cx+d whose roots are not rational numbers then the roots are not constructible? This isn’t very difficult to prove but requires some knowledge beyond what I’m assuming for this article.

Here’s the clever part. Suppose you could construct a 20∘ angle, then the number cos(20∘) would be constructible (you can just drop a perpendicular from a point on a line at 20∘ to the horizontal, distance 1 from the origin). However, you can show that α=cos(20∘) is a root of the equation 8×3−6x−1=0 (by expanding cos(60∘) in terms of cos(20∘) using the addition formula). It is easy to show that this has no rational roots, and so the roots are not constructible. This means that we couldn’t have constructed a 20∘ angle, because then we would be able to construct cos(20∘) which is impossible. So a 60∘ angle cannot be trisected.

You can use methods like this to prove other results about what shapes can or can’t be constructed and so forth.
6 Further Reading

http://mathworld.wolfram.com/CubicEquation.html (lots about solving polynomials of degree 3, quite hard)
http://mathworld.wolfram.com/QuarticEquation.html (lots about solving polynomials of degree 4, quite hard)
http://mathworld.wolfram.com/Group.html (information about group theory, quite hard but lots of links to interesting things about group theory)
http://members.tripod.com/~dogschool/ (long introduction to group theory, seems quite good and not too difficult)
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Development_group_theory.html (history of work on group theory, quite a lot about Galois theory)
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Abstract_groups.html (history of the development of the concept of a group)
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Galois.html (biography of Galois, whose life story is very dramatic – involving duels and political riots)
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Abel.html (biography of Abel, another important person in the development of Galois theory)
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Ruffini.html (biography of Ruffini, who is the first person to have come up with a proof that there are quintic equations which are not soluble by radicals, although his work was little recognised at the time)
http://mathworld.wolfram.com/Trisection.html (trisecting angles, no proofs)
http://mathworld.wolfram.com/ConstructiblePolygon.html (constructible polygons, no proofs)
http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/rational.shtml (constructible numbers, with proofs)
http://www.cut-the-knot.com/arithmetic/cubic.shtml (trisecting angles, with proofs)